fix(auth): handle null backend values and surface login errors on splash

Two related fixes for OAuth login failures:

- `UserSchema`: backend (Facebook/Apple) returns `null` for fields like
  `email`; Zod's `.default("")` rejects `null`, causing silent login
  failures. Introduce `stringOrEmpty` / `numberOrZero` / `booleanOrFalse`
  helpers (`nullable().transform(v => v ?? x).default(x)`) and apply
  across the schema so input accepts `string | null | undefined` while
  output stays the typed primitive.

- `SplashScreen`: render `state.errorMessage` (set by auth state machine
  `onError`, e.g. Facebook sync / schema mismatch) so users no longer
  get stuck on splash without feedback.

src/app/splash/components/splash-screen.tsx

@@ -24,7 +24,7 @@ export function SplashScreen() {
   // ─────────────────────────────────────────────────────────────
   // useEffect ① 启动时检查 localStorage 里的 loginToken：
   //   - loginToken（OAuth/email sync 写下的）→ 视为"已登录"跳 /chat
-  //   - **不**查 guestToken —— 游客用户**停留 splash**（按你要求）
+  //   - 不查 guestToken —— 游客用户停留 splash（按你要求）
   //   - 都没有 → 留 splash
   // proxy 读不到 localStorage（Edge runtime），所以这条 fallback 必须在 Client 侧。
   // ─────────────────────────────────────────────────────────────
@@ -43,11 +43,11 @@ export function SplashScreen() {
   }, [router]);
 
   // ─────────────────────────────────────────────────────────────
-  // useEffect ② 按钮**刚**派了事件（pendingRedirect=true） +
+  // useEffect ② 按钮刚派了事件（pendingRedirect=true） +
   //               loginStatus 是非 notLoggedIn → 跳 /chat
   //
-  // **关键**：`pendingRedirect` 是 auth context 里的**持久**状态（不是 ref）——
-  // re-mount 时**不**重置，区分"刚按了"和"历史登录"准确无误。
+  // 关键：`pendingRedirect` 是 auth context 里的持久状态（不是 ref）——
+  // re-mount 时不重置，区分"刚按了"和"历史登录"准确无误。
   // 跳完调 `AuthClearPendingRedirect` 置 false（一次性信号）。
   // ─────────────────────────────────────────────────────────────
   useEffect(() => {
@@ -88,6 +88,26 @@ export function SplashScreen() {
           <div className={styles.buttonArea}>
             <SplashButton />
           </div>
+          {/*
+           * 登录错误提示 —— auth state machine 的 onError 会设 errorMessage
+           * （如 Facebook 同步后端失败 / 后端返回数据 schema 不匹配等）。
+           * 之前没显示，导致用户卡在 splash 看不到原因。
+           */}
+          {state.errorMessage ? (
+            <p
+              role="alert"
+              style={{
+                color: "#c0392b",
+                fontSize: "0.875rem",
+                marginTop: "1rem",
+                textAlign: "center",
+                maxWidth: "320px",
+                lineHeight: 1.4,
+              }}
+            >
+              {state.errorMessage}
+            </p>
+          ) : null}
           <p className={styles.bottom}>
             Elio Silvestri, Your exclusive AI boyfriend
             <br />